☛ Developper une expression littérale

Énoncé

Développer les expressions suivantes.

1. \(A_1(x)=(\sqrt3x+\sqrt2)^2\)
2. \(A_2(a)=(a^3-1)^2\)
3. \(A_3(y)=(2y^2-1)^2-2(4-y)^2\)
4. \(A_4(x)=(2-x)^3\)
5. \(A_5(x)=(x+1+\sqrt 2)(x+1-\sqrt 2)\)
6. \(A_6(y)=(2y-1)(y+3)(4y-5)\)

Solution

1. \(A_1(x)=(\sqrt3x)^2+2\times \sqrt3x\times \sqrt 2+\sqrt 2^2=3x^2+2\sqrt 6x+2\)
2. \(A_2(a)=(a^3)^2-2\times a^3 \times 1+1^2=a^6-2a^3+1\)
3. \(A_3(y)=(2y^2)^2-2\times 2y^2 \times 1+1^2-2(4^2-2\times 4 \times y+y^2)\\=4y^4-4y^2+1-32+16y-2y^2=4y^4-6y^2+16y-31\)
4. 
\(A_4(x)=(2-x)^2(2-x)=(4-4x+x^2)(2-x)=8-4x-8x+4x^2+2x^2-x^3\\=-x^3+6x^2-12x+8\)

Autre méthode
On utilise l'identité remarquable :
\((a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\), pour tous réels \(a\) et \(b\).
Donc \(A_4(x)=(2-x)^3=2^3-3\times 2^2\times x+3\times 2\times x^2-x^3=-x^3+6x^2-12x+8\)

5. \(A_5(x)=(x+1)^2-\sqrt 2^2=x^2+2x+1^2-2=x^2+2x-1\)
6. \(A_6(y)=(2y^2+6y-y-3)(4y-5)=(2y^2+5y-3)(4y-5)\\=8y^3-10y^2+20y^2-25y-12y+15=8y^3+10y^2-37y+15\)